(8d) ¿Que distancia hay a la Luna?--2

Ese eclipse fue total en el Helesponto, en los Dardanelos, parte del estrecho que separa las partes europea y asiática de Turquía, pero solo las 4/5 partes del Sol se cubrieron en Alejandría (Egipto), ciudad más al sur. 

Hiparco sabía que cuando el Sol se eclipsaba, la Sol y la Luna ocupaban el mismo lugar en la esfera de los cielos. Suponía que la razón era debida a que la Luna pasa entre el Sol y nosotros.

Creía que el Sol estaba mucho más distante que la Luna, como había concluido Aristarco de Samos casi un siglo antes observando el tiempo en que estaba la Luna exactamente en su fase media (vea las secciones #8c y #9a). También da por hecho que el máximo del eclipse ocurre al mismo tiempo en ambos lugares (no era acertado pero, afortunadamente, no era muy diferente) y entonces lleva a cabo el siguiente cálculo. 

Visto desde Alejandría (punto A), en el mismo momento, el punto E solo se superponía al punto C del Sol, aprox. a 1/5 de diámetro solar separado del borde, por lo que no era un eclipse total. Un quinto del diámetro del Sol cubre solamente unos 0.1º del cielo, así que el pequeño ángulo a (alfa, A griega) entre las dos direcciones mide unos 0.1º. Este ángulo es el paralaje del borde de la Luna, vista desde los dos lugares citados arriba.

Es improbable que Hiparco conociera la distancia AB, pero probablemente conocía las latitudes del Helesponto y Alejandría. La latitud local puede evidenciar ser igual a la elevación del  polo celestial  sobre el horizonte y actualmente se puede deducirse fácilmente observando la altura de la Polar, la estrella del polo sobre el horizonte. En los tiempos de Hiparco el polo de los cielos no estaba cerca de la Polar (debido a la  precesión de los equinoccios), pero Hiparco, que había cartografiado la posición de unas 850 estrellas, debía conocer sus posiciones muy bien.

La latitud del Helesponto (en un atlas moderno) es de 40° 20' (40 grados y 20 minutos, 60 minutos por grado), mientras que la de Alejandría es de 31° 20', una diferencia de 9°. Daremos por hecho que Alejandría está exactamente en el sur. Si, además, r es el radio de la Tierra, la circunferencia de la Tierra será 2pr, donde p = 3.1415926... ("pi", P minúscula griega) es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Puesto que la circunferencia es igual a 360º, tenemos

el punto indica multiplicación (equivalente algebraico del símbolo x).

La distancia R a la Luna

Estrictamente hablando, cada uno de los dos arcos AB enunciados en las ecuaciones anteriores están medidos a lo largo de un círculo diferente, con radios diferentes (y los dos círculos curvados hacia lados opuestos). No obstante, en ambos casos AB cubre solo una pequeña parte del círculo, así que, como aproximación, podemos considerar que cada uno de los arcos son iguales a la distancia recta AB. Esta suposición nos permite estimar las dos expresiones como iguales y escribir

Multiplicando ambas igualdades por 360 y dividiéndolas por 2p nos da

Dividiendo por (0.1 r)

sugiere que la distancia a la Luna es de 90 radios terrestres, una sobrevaloración del 50%. 

Un cálculo más preciso

Luego la sección cortada por el ángulo a del círculo de radio R alrededor de E no es AB, sino AF (segundo dibujo) que es menor. Tenerlo en cuenta reduce la distancia. 

No sabemos donde estaba el Sol durante el eclipse del 129 a.C., pero deberá estar en la eclíptica (¡Obviamente las palabras están relacionadas!), que lo coloca, en cualquier caso, dentro de los 23.5° del ecuador celestial. Asumiendo que estaba en el ecuador (esto es, pasó sobre el ecuador de la Tierra) y al sur de las observaciones descritas (p.e.: el eclipse ocurre cerca del mediodía) podemos hacer una tosca estimación de la corrección usando trigonometría sencilla (vea la sección M-8).

El Helesponto está en una latitud de 40º y como indica el dibujo, es también el ángulo entre la dirección de la Luna y el cenit. Del dibujo (x indica multiplicación) 

Repitiendo el cálculo precedente para AF

y al final

Comentarios finales

En ausencia de un cronometraje exacto, con el método casi está garantizado que se produzca una sobremedición. La tierra gira debajo del punto de sombra proyectado por la Luna, que hace que ese punto pase rápidamente sobre una larga banda; pasa sobre muchos lugares en momentos diferentes. El Helesponto fue uno de los muchos lugares donde el eclipse fue total. Igualmente, Alejandría fue uno de los muchos lugares donde solo cubrió las 4/5  partes del Sol. Seleccionando aleatoriamente el punto B del primer grupo y el punto A del segundo podemos tener una  línea mayor que representa AB y una mayor (e incorrecta) distancia a la Luna. El hecho de que Alejandría está casi al sur del Helesponto no garantiza que su eclipse sea compartido o que no sea muy diferente.

¿Se repite la Historia?

Necesitará un poco de trabajo, pero puede, si desea, realizar los cálculos de Hiparco para este eclipse (Es mejor que use una calculadora).
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1. Primero, imprima esta página y su mapa. Si la calidad de la impresión es baja, use una regla para dibujar las líneas horizontales de latitud 30 (El Cairo, Egipto) y 40 (Ankara, Turquía). Normalmente, esas líneas se inclinan y curvan un poco, pero en este cálculo tosco, se puede ignorar la curvatura. 

 
2. Con una regla mida la separación entre las dos líneas. Esta separación es igual a 10º de latitud.

 
3. Marque en su mapa un punto en la costa sur del Mar Negro por donde pasa la línea de totalidad. En vida de Hiparco estaba situada aquí la ciudad de Heraclea e Hiparco quizá la usó en vez del Helesponto, siendo su eclipse igual que el de 1999.

 
4. Mida con la regla la distancia desde Alejandría hasta el punto que ha marcado en la línea de totalidad. Use la medida que ha calculado para deducir la distancia correspondiente medida en grados de latitud.

 
5. El eclipse ocurre el 11 de Agosto, casi a la mitad entre el solsticio de verano y el equinoccio de otoño. El día del solsticio, el  21 de Junio el Sol está 23.5° al norte del ecuador; en el equinoccio de otoño, el 21 de Septiembre, está en el ecuador celestial.

El 11 de agosto se puede esperar estar casi a la mitad entre ambos extremos, unos 12° al norte del ecuador. El lugar de totalidad escogido es a una latitud de 42º, luego el ángulo allí al mediodía, entre el cenit y la dirección del Sol es de alrededor de (42-12) = 30º. Para el coseno de ese ángulo vea aquí.
 
6. Dado que el 71% del Sol está cubierto en Alejandría y asumiendo que el borde de la Luna alcanza en ese momento el 0.71 de su camino sobre el Sol (en rigor, no igual), puede ahora llevar a cabo el cálculo de Hiparco para el eclipse de 1999.